위치적 기수법이란?
임의의 수를 일정한 개수의 숫자를 사용하여 표현하는 것을 위치적기수법이라고 합니다. 특히, 아라비아숫자 0, 1, 2, …, 9의 10개의 숫자를 이용하여 수의 크기를 표현하는 것을 십진 위치적 기수법, 즉 십진법이라고 합니다. 이와 같은 자릿값에 따른 숫자 표기가 가능하려면 자릿값이 비어 있음을 나타낼 수 있는 방법, 즉 0의 출현이 전제되어야 합니다. 만일 0이 없다면, ‘2 3’이라고 적힌 수가 ‘23’을 의미하는지, ‘203’을 의미하는지, 또는 ‘2003’을 의미하는지 구별할 수가 없기 때문이지요. 수를 구별할 수 없다면 수 표현이 매우 비경제적이기 때문에 체계적인 계산이 이루어질 수 없으므로 수학이 발전하기 어려웠을 것이고, 만일 그랬다면 지금과 같은 문명 생활은 존재하지 않았을 것입니다.

0으로는 나눌 수 없다!

예를 들어, 에 대해서 생각해 보겠습니다. 이 식을 전자계산기에 입력해 보면 ‘error` 메시지가 뜹니다. 이해할 수 없는 식이라는 뜻이지요. 이 나눗셈을 실생활에 적용시켜 보면, ‘빵 3조각을 0명의 사람이 나누어 먹으면 각각 몇 조각씩 먹을 수 있겠는가?’와 같은 상황을 생각할 수 있겠습니다.

음수나 허수도 지극히 추상적이고 비현실적이지만, ‘0명의 사람이 3개의 빵을 나누어 먹는다’라는 상황을 수학적으로 모순 없이 정의하기가 쉽지 않을 것으로 생각됩니다. 왜 그런지 예를 들어 설명해 보겠습니다.

이것을 거듭제곱으로 나타내면 이 되고, 의미하는바 그대로 5를 한 번도 안 곱한다는 것인데요, 아무것도 곱하지 않았기 때문에 어떻게 보면 그 값이 0이 될 것 같지만, 수학적으로 그 값은 1입니다.
이것 또한 하나의 수학적 정의이므로 그대로 받아들이면 되지만, 왜 그런지 간단히 설명을 해 보도록 하겠습니다.

밑이 같은 거듭제곱 사이의 나눗셈은 지수끼리의 차로 계산됩니다.
예를 들어, 을 계산해 보면

　　
이므로, 과 의 지수인 4와 2의 차를 이용하여
　　
와 같이 계산할 수 있습니다. 마찬가지로 를 계산해 보면

　　
이 되고, 의 지수의 차를 이용하여 계산하면

　　
이 되므로 이 됨을 알 수 있습니다.

정의는 하나의 약속이지요. ‘개똥이’를 ‘개똥이’라고 부르기로 약속하면 왜 ‘개똥이’라고 불러야 하는지 증명할 필요 없이 그냥 사실로 받아들이는 것처럼, 어떤 수를 0으로 나눌 수 없다는 것과 어떤 수의 0제곱은 1이라는 것을 그냥 사실로 받아들이면 됩니다.

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