1. Contact

`포레스트 검프`라는 영화로 아카데미 감독상을 수상한 로버트 저메키스(Robert Lee Zemeckis) 감독이 1997년에 Contact라는 영화를 제작했습니다. 조디 포스터(Jodie Foster)가 주연한 Science Fiction 영화인데요, 외계와의 통신을 꿈꾸며 천문학자로 성장한 조디 포스터가 베가성(직녀성)에서 보내온 메시지를 수신하게 되고, 결국 웜홀을 통한 공간 여행을 하게 된다는 것이 주된 스토리입니다.

이 영화에서 조디 포스터는 외계에서 보내온 신호음이 소수(素數, prime number)로 구성되어 있음을 분석해 냅니다. “수학은 우주 어디에서도 통용될 수 있는 보편적인 언어이다”라는 말과 함께 말이죠.

2. 소수란?

소수란, 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수입니다. 예를 들어 2, 3, 5, 7은

과 같이 1과 자기 자신의 곱으로만 나타내어지므로 소수입니다. 반면, 4, 6, 8, 9는

과 같이 1과 자기 자신만의 곱 외에 다른 수들의 곱으로도 나타내어지므로 소수가 아니지요.
이와 같이 소수가 아닌 수를 합성수라고 하며, 1은 소수도 합성수도 아닌 수입니다.

소수는 고대 그리스의 수학자들에 의해서 널리 연구되기 시작했습니다. 기원전 300년 경 수학자 유클리드는 이미 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 무한히 많으므로 제일 큰 소수라는 것이 존재할 수 없다는 것인데요, 이러한 사실을 알면서도 사람들은 현재까지도 더 큰 소수, 새로운 소수를 찾으려는 노력을 계속하고 있습니다.

현재까지 알려진 가장 큰 소수는 2009년 6월에 에디슨 스미스(Edison Smith)가 주도하는 미국 로스앤젤레스 캘리포니아대학팀(UCLA)이 75대의 네트워크 컴퓨터를 연결하여 계산해 낸 입니다. 1647026933025592314…로 시작하여 …80022181166697152511로 끝나는 이 소수는 무려 1297만 8189자리의 수로서, 보통 사람이 손으로 쓰면 꼬박 12주가 걸리고, 그 길이만 해도 45km 정도가 된다고 합니다.

3. 왜 소수인가?

그렇다면 수학자들은 왜 이렇게 큰 소수를 찾는 일에 몰두하는 것일까요?

1을 한 번 더하면 1, 두 번 더하면 2, 세 번 더하면 3, …과 같이 1과 덧셈만으로 모든 자연수를 만들어 낼 수 있습니다. 그렇다면 곱셈을 이용해서 자연수를 만들어낼 수는 없을까요? 1을 한 번 곱하면 1, 두 번 곱해도 1, 세 번 곱해도 1, …, 즉 1은 아무리 여러 번 곱해도 그 결과가 항상 1이므로 1과 곱셈만으로는 자연수를 모두 만들어낼 수는 없습니다.

그러면 2를 이용하면 어떨까요? 2를 한 번 곱하면 2, 두 번 곱하면 4, 세 번 곱하면 8, …과 같이 꽤 많은 수들을 만들어낼 수는 있지만, 2를 몇 번 곱해도 6이나 15와 같은 수는 만들 수가 없습니다. 즉, 3 또는 5가 추가로 필요하지요. 이와 같이 곱셈으로 모든 자연수를 만들기 위해 최소로 필요한 수가 바로 2, 3, 5, 7, 11, … 등과 같은 소수입니다.

여기서 아주 중요한 성질을 하나 발견할 수 있는데요. 4는 2를 두 번 곱해서 만들어지는 수이므로 4의 성질은 2의 성질을 알면 추측할 수 있습니다. 또한, 15는 3과 5를 한 번씩 곱해서 만들어지는 수이므로 3과 5의 공통적인 성질을 갖게 되지요. 즉, 소수를 연구하는 것이 바로 자연수의 성질을 연구하는 것이고, 따라서 수학자들은 소수를 찾고 연구하는 일을 중요하게 생각하고 있는 것입니다.

소수는 그 자체가 수학적으로 의미를 가지기도 하지만, 오늘날 암호학에서 매우 중요한 역할을 하고 있습니다.

아주 큰 두 소수를 곱해서 하나의 수를 만들고, 그 수가 어떤 두 소수의 곱인지 알아야 해독될 수 있도록 암호를 만드는 것이지요. 두 소수를 곱하는 것은 금방이지만, 주어진 수가 어떤 두 소수의 곱인지 알아내기 위해서는 슈퍼컴퓨터를 돌려도 몇 년이 걸리기 때문에, 해독하기까지 시간을 효과적으로 지연시킬 수 있는 것입니다.

이번 칼럼에서는 자연수의 성질을 알려줄 뿐 아니라 암호를 만드는 데도 요긴하게 사용되고 있는 소수에 대해서 알아보았습니다.