이번 칼럼에서는 배수판정법에 대해서 알아보려고 합니다.
초등학교 5학년 과정에서 처음 배우게 되는 배수는 어떤 수를 1배, 2배, 3배, … 한 수라고 정의되어 있습니다.
이것을 중등 과정에서는

　　　α = b x c (α,b,c 는 자연수)

가 성립할 때, α 를 b 또는 c 의 배수라고 정의합니다.
예를 들어 63에 대해서 생각해 보면

　　　　63 = 7 x 9 = 3 x 21

이므로 63은 7의 배수, 9의 배수이며, 3의 배수이고, 21의 배수이기도 합니다.
구구단에 있는 두 자리의 수의 경우에는 어떤 수의 배수인지 판정하기가 어렵지 않으나, 8853009와 같이 큰 수의 경우는 어떻습니까?
곱의 꼴로 나타내기가 쉽지 않습니다.
이러한 경우, 쉽게 어떤 수의 배수인지 판정할 수 있는 방법에 대해서 알아보겠습니다.


<2, 5, 10의 배수판정법>

2의 배수, 5의 배수, 10의 배수는 주어진 수의 끝자리의 숫자만을 이용해서 배수 여부를 판정할 수 있습니다.
그 방법은 다음과 같습니다.

예를 들어 43528은 끝자리의 숫자가 8로 짝수이므로 2의 배수임을 쉽게 알 수 있습니다.
또한 78955, 93460은
끝자리의 숫자가 각각 5, 0이므로 각각 5의 배수, 10의 배수임을 알 수 있습니다.


<4, 8의 배수판정법>

4의 배수는 주어진 수의 끝자리의 숫자 하나만으로는 배수 여부를 판정할 수 없고, 끝의 두 자리의 수를 알아야 합니다.
예를 들어 다섯 자리의 수 34528을 다음과 같이 나타내어 보면

　　　　34528 = 10000 x 3 + 1000 x 4 + 100 x 5 + 28

에서 10000, 1000, 100은 모두 4의 배수이므로
10000 x 3 + 1000 x 4 + 100 x 5은 4의 배수가 되고, 따라서 끝의 두 자리의 수 28이 4의 배수이므로 주어진 수는 4의 배수가 됨을 알 수 있습니다.
마찬가지 방법으로 10000, 1000은 8의 배수이고, 끝의 세 자리 수 528이 8의 배수이므로 주어진 수가 8의 배수임을 알 수 있습니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

<3, 9의 배수판정법>

3의 배수, 9의 배수는 주어진 수의 각 자리의 숫자의 합을 이용해서 판정합니다. 먼저 그 원리에 대해서 설명해 보겠습니다.
네 자리 수 4572를 다음과 같이 나타내어 보면

　　　　4572 = 1000x4 + 100x5 + 10x7 + 2
　　　　　     = (999 + 1)x4 + (99 + 1)x5 + (9 + 1)x7 +2
　　　　　　   = 999x4 + 99x5 + 9x7 + 4 + 5 + 7 + 2

에서 999, 99, 9가 모두 9의 배수이므로
999x4 + 99x5 + 9x7은 9의 배수가 되고,. 따라서 각 자리의 숫자의 합인 4 + 5 + 7 + 2 = 18이 9의 배수이므로 주어진 수는 9의 배수가 됩니다.
마찬가지로 999x4 + 99x5 + 9x7은 3의 배수이고, 각 자리의 숫자의 합인 4 + 5 + 7 + 2 = 18가 3의 배수이므로 주어진 수는 3의 배수가 되는 것입니다.
이상을 정리하면 다음과 같습니다.

이상으로 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10의 배수판정법에 대해서 살펴보았습니다.
살펴보고 나니 2에서 10까지의 수 중 6과 7의 배수를 판정하는 방법이 빠졌는데요, 6의 배수와 7의 배수를 판정하는 방법도 물론 있습니다.
6은 6 = 2 x 3 으로 나타낼 수 있으므로 2의 배수이고 3의 배수인 수입니다.
따라서 주어진 수가 2의 배수의 조건을 만족하면서 3의 배수의 조건을 만족한다면 그 수는 6의 배수라고 판정할 수 있습니다.
예를 들어 6384는 끝의 자리의 숫자가 4로 짝수이고, 각 자리의 숫자의 합이 6 + 3 + 8 + 4 = 21로 3의 배수이므로 6의 배수라고 판정할 수 있는 것입니다.
7의 배수판정법은 ‘스펜스의 법’이라는 것이 있기는 한데, 원리도 다소 난해하고 적용하기도 쉽지 않아서 소개는 생략하도록 하겠습니다.
그럼 다음 칼럼에서 더욱 알찬 내용으로 찾아뵙도록 하겠습니다.

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